2016-09-29

曲率半径の公式

関数 ${Y=f(X)}$ の点 ${P(t,f(t))}$ における曲率半径 ${r}$ を求める。

まず、この点における法線は
${\displaystyle Y=-\frac{X-t}{f'(t)}+f(t) }$
次に、点 ${(t+h,f(t+h))}$ における法線は
${\displaystyle Y=-\frac{X-(t+h)}{f'(t+h)}+f(t+h) }$
と表せる。

この ${2}$ 直線の交点Q(x,y)は ${2}$ 式から、
${\displaystyle \begin{eqnarray} \begin{cases} y=-\frac{x-t}{f'(t)}+f(t) \\ y=-\frac{x-(t+h)}{f'(t+h)}+f(t+h) \end{cases} \end{eqnarray} }$
整理して
${\displaystyle \begin{eqnarray} \begin{cases} y=-\frac{x}{f'(t)}+\frac{t}{f'(t)}+ f(t) \\ y=-\frac{x}{f'(t+h)}+\frac{t+h}{f'(t+h)}+f(t+h) \end{cases} \end{eqnarray} }$
よって、
${\displaystyle \begin{eqnarray} && x\left(\frac{1}{f'(t+h)}-\frac{1}{f'(t)}\right) \\ && =\frac{t+h}{f'(t+h)}-\frac{t}{f'(t)}+f(t+h)-f(t) \\ \end{eqnarray} }$
${\displaystyle \begin{eqnarray} x & = & \frac{f'(t)f'(t+h)\left(\frac{t+h}{f'(t+h)}-\frac{t}{f'(t)}+f(t+h)-f(t)\right)}{f'(t)-f'(t+h)} \\ & = & \frac{f'(t)(t+h)-f'(t+h)t+f(t+h)f'(t)f'(t+h)-f(t)f'(t)f'(t+h)}{f'(t)-f'(t+h)} \\ & = & \frac{t(f'(t)-f'(t+h))}{f'(t)-f'(t+h)}+\frac{hf'(t)}{f'(t)-f'(t+h)}+\frac{f'(t)f'(t+h)\left(f'(t)-f'(t+h)\right)}{f'(t)-f'(t+h)} \\ & = & t+\frac{f'(t)}{\frac{f'(t)-f'(t+h)}{h}}+\frac{f'(t)f'(t+h)\left(\frac{f'(t)-f'(t+h)}{h}\right)}{\frac{f'(t)-f'(t+h)}{h}} \end{eqnarray} }$
となる。

${h \rightarrow 0 }$ の極限を考えて、
${\displaystyle \begin{eqnarray} &&\lim_{h \to 0} x \\ &&=\lim_{h \to 0} \left(t+\frac{f'(t)}{\frac{f'(t)-f'(t+h)}{h}}+\frac{f'(t)f'(t+h)\left(\frac{f'(t)-f'(t+h)}{h}\right)}{\frac{f'(t)-f'(t+h)}{h}}\right) \\ &&=t-\frac{(f'(t))^3+f'(t)}{f''(t)} \end{eqnarray} }$
これを点 ${P}$ での法線の方程式に代入して、
${\displaystyle y=\frac{(f'(t))^2+1}{f''(t)}+f(t) }$
以上より、求める曲率半径 ${r}$ は
${\displaystyle \begin{eqnarray} r &=& \sqrt{\left(\frac{(f'(t))^3+f'(t)}{f''(t)}\right)^2+\left(\frac{(f'(t))^2+1}{f''(t)}\right)^2} \\ &=& \frac{(\left(f'(t)\right)^2+1)^{\frac{3}{2}}}{|f''(t)|} \end{eqnarray} }$